1. 공간 위상 일반
위상(Topology)이란 어떠한 변환을 수행하더라고 변화하지 않는 공간적 특성을 말한다. 고무판 위에 그림을 그리고 고무판이 찢어지지 않게 임의의 방향으로 당겨보면 그림의 형태와 크기는 변하지만 몇가지 공간적 특성은 변화하지 않는다. 인접 관계는 변하지 않고 모든 경계선의 시작과 끝점은 동일하다. 각 면의 경계선 또한 동일한데, 경계선의 형태나 길이만 달라진다. 이러한 관계는 연속적인 변환에 의해 변화하지 않는다. 이런 성질을 위상적 성질이라 하며, 이러한 변환을 위상 변환(Topological mapping)이라 한다.
모든 점을 3개의 실수로 구성된 3차원 좌표로 결정할 수 있는 공간을 3차원 유클리드 공간(3D Euclidean space)이라고 한다. 이러한 공간에서 점, 선, 폴리곤 및 입체를 각각의 차원에 대한 기하학적 기본 요소(primitive)로 정의할 수 있다. 점은 0차원, 선은 1차원, 폴리곤(면)은 2차원, 입체는 3차원 기본 요소이다. 두 지점간의 거리를 일정한 거리 함수를 이용해 구할 수 있는 공간을 메트릭 공간(metric space)이라 한다. 이러한 함수를 가리켜 메트릭 함수라 한다. 공간상의 모든 점들이 그 공간상에 있는 점들로 둘러싸여 있는 공간을 위상적 공간이라 한다. 내부와 경계는 위상 매핑으로 인해 변화하지 않는다. 즉 어떠한 위상 매핑을 통해서라도 대상물의 내부와 경계를 깨지거나 바뀌지 않는다.
컴퓨터로 지리적 현상을 표현할 때 위상적 특성에 대한 처리가 함께 가능하다면 많은 장점을 가질 수 있다. 예를 들어 면 요소에 대한 이웃 요소를 쉽게 결정할 수 있다. 위상 처리를 위한 방법 중 하나가 조립 벽돌과 유사한 형태로 대상을 표현하고 이를 바탕으로 복잡한 구조를 표현하는 방식이다.
위상적 공간 내에서 쉽게 다룰 수 있고 지리적 객체를 표현하는 데 사용할 수 있는 대상의 정의가 가능하다. 이러한 대상을 단순체(simplex)라 한다. 각 차원별로 가장 간단한 단순체는 점(0-simplex), 선분(1-simplxe), 삼각형(2-simplex), 사면체(3-simplex)이다. 여러 종류의 단순체를 조합하여 하나의 대상을 만들면 단순복합체(simplicial complex)를 생성 가능하다. 단순복합체의 위상적 특성은 구성 방식을 통해 유추할 수 있다.
2. 2차원 위상
내부와 경계선의 위상적 성질을 이용하여 공간 대상간의 관계를 정의할 수 있다. 위상 매핑을 적용하면 내부와 경계의 성질은 변하지 않으므로 공간 대상 간의 가능한 모든 관계를 조사할 수 있다. 여기서 특정 지역 R의 내부를 R 내에 존재하는 어떤 한 점을 중심으로 작은 원을 그렸을 때 그 원이 R 내부에 완전히 들어올 수 있는 점의 최대집합으로 정의한다. R의 경계란 R에 속하는 점으로서 그 점 주변의 작은 원이 R에 속하도록 그릴 수 없는 점들의 집합으로 정의한다.
공간 지역 A가 있다고 가정한다. A는 경계와 내부가 있으며 각각은 무한한 점들의 집합이다. 경계를 boundary(A)라고 하고 내부를 interior(A)라고 한다. A와 다른 지역 B와의 경계와 내부간의 모든 가능한 교차조건을 조합하여 공집합이 되는지 여부를 따져보자. 이러한 교차조건의 형태로 두 지역 간에는 8가지의 상호 배타적인 공간관계의 정의가 가능하다. 예를 들어 A, B의 내부는 교차하지 않지만 경계는 만나며, 어느 경계선이 다른 지역의 내부와 만나지 않는 경우 A와 B는 서로 만난다고 한다. 공간관계의 8가지 종류를 나열하면 떨어짐(disjoint), 만남(meet), 동일(equal), 내부(inside), 덮임(covered by), 포함(contain), 덮음(cover), 겹침(overlap)이 있다. 이러한 관계는 공간 데이터베이스 검색에 사용 가능하다.
단순체와 단순복합체를 공간 내에 결합하는 방법에 관련된 규칙은 3차원의 경우와 2차원의 경우가 매우 다르다는 것이 알려져 있다. 이러한 규칙에 의해 공간에 있어서 위상 일관성을 정의할 수 있다. 다음과 같은 법칙이 2차원 공간의 모든 대상이 만족시키면 2차원 공간에서 그 대상물은 위상적으로 일관성이 있다고 한다. 1) 모든 1-simplex(선)의 경계는 두개의 0-simplex(노드)여야 한다. 2) 모든 1-simplex는 2-simplex(폴리곤)의 경계이다. 3) 모든 2-simplex는 0-simplex와 1-simplex가 순차적으로 반복되는 닫힌 경계가 있다. 4) 모든 0-simplex 주위에는 1-simplex와 2-simplex가 순차적으로 반복된다. 5) 1-simplex는 반드시 경계인 노드에서만 교차한다.
3. 3차원 처리
전통적으로 공간자료처리는 2차원 평면을 대상으로 이루어져왔고 대부분의 지리정보시스템 소프트웨어 역시 2차원을 대상으로 한다. 몇몇 응용에서 3차원을 다루고 있으나 이는 이른바 2.5차원 구조로 처리된다. 2.5차원 자료 구조는 점, 선, 면 등 2차원 자료구조와 비슷하다. 2.5차원의 위상구조도 2차원의 위상구조와 동일하다. 선과 선이 만나는 지점에는 노드가 존재하며 면은 서로 중첩될 수 없다.
2.5차원 자료는 2차원 자료와 차이가 존재하는데, 각각의 0-simplex에 높이값이 부여되어 있다는 점이 그것이다. 본직적으로 이러한 방법을 이용하여 수평이 아닌 1-simplex 및 2-simplex를 표현할 수 있고, TIN과 유사한 형태로 작은 조각의 평면을 사용하여 국면을 구현할 수 있다. 그러나, 이 방법을 이용해서는 x,y좌표는 동일하지만 z좌표가 다른 노드를 생성할 수 없다. 따라서 건물과 같은 진짜 입체는 2.5차원에서 표현이 불가능하다.
입체를 3차원 객체로 정의할 수도 있다. 3차원 GIS에서는 입체를 경계면이 평면으로 이루어진 다면체로 구성한다. 이 경계면은 폴리곤 형태의 평면으로서 평평한 부분이 다면체의 경계를 이룬다. 모든 다면체는 적어도 4개의 경계면이 필요하며 3-simplex가 경계면이 4개인 경우이다. 대부분의 다면체는 경계면이 4개 이상이다.